Možnosti uplatnění pravděpodobnostních postupů při modelování interakce staveb s podložím

• Foto

Jsou to:
a) Zohlednění náhodného charakteru veličin, se kterými při navrhování pracujeme (vlastnosti stavebních materiálů a materiálu podloží, zatížení a další).
b) Důsledná aplikace modelu zohledňujícího vzájemnou interakci horní stavby, základové konstrukce a podloží. To samozřejmě vede k práci s náročnějšími modely a ke zvýšenému rozsahu analýz.

Obě tato hlediska mají výrazný vliv na výpočet deformace podloží a tím na navrhování či posuzování konstrukce základů i horní stavby. V dalším textu tyto dvě okolnosti rozvedeme; již úvodem ale lze říci, že potřebné teoretické podklady i prakticky využitelné postupy a softwarové prostředky existují – jistým způsobem to bylo již ukázáno v příspěvku [1], který předkládaný článek doplňuje. Poznamenejme také, že u nás i v zahraničí již byla publikována řada prací, zabývajících se problematikou interakce konstrukce s podložím (často šlo jen o základovou konstrukci), nebo problematikou náhodných vlastností zemin (nejčastěji v úlohách stability svahů). Naproti tomu řešení obou problémů současně bylo věnováno jenom nemnoho prací – výsledky v nich získané budou stručně popsány v následujícím textu.

VARIABILITA PODLOŽÍ, MODELOVÁNÍ A NEJISTOTY
Je obecně známo, že systém podloží – základ – horní stavba – prostředí vykazuje značnou variabilitu v řadě ukazatelů a jsou s tím tudíž spojeny větší či menší nejistoty. Tyto se obvykle dělí na epistemické, které se odvíjejí od nedostatků ve znalostech o vhodných hodnotách veličiny; o ní se obvykle předpokládá, že do daného výpočtu vstupuje fixní hodnotou. Dále je možno sledovat tzv. nejistoty aleatorní, které pocházejí z vrozených náhodností v chování studovaného systému [2]. Při výpočetním modelování stavebních konstrukcí se setkáváme s oběma těmito druhy nejistot. U geotechnických úloh je vhodné ale zmínit též jiný druh dělení náhodností: (i) vrozené, (ii) nejistoty (nepřesnosti) měření a (iii) nejistoty spojené s transformací polních či laboratorních výsledků na hodnoty vlastností podzákladí použitých při návrhu – analýze modelu.

Obecně lze říci, že nejistoty spojené s podzákladím jsou větší, než nejistoty související s modelováním základových konstrukcí i horní stavby. Vyplývá to nejenom z nejistot o fyzikálních vlastnostech zemin, ale též z nedostatečných znalostí o geologickém profilu v každém místě stavby (znalost o tom se opírá v lepším případě o několik málo sond, nebo jen o inženýrský odhad, zkušenost či o databáze získané v obdobných situacích). Je zřejmé, že správný konstrukční návrh z pohledu ekonomie i spolehlivosti může být relativně složitá úloha, při jejímž řešení se uplatní množství faktorů. Některé z nich nemusí být předem dostatečně známy a řada z nich má náhodný charakter.

Vzhledem k těmto nejistotám (náhodnostem) souvisejících veličin a jevů je potřebné dát přednost pravděpodobnostním metodám před postupy deterministickými, což umožní posuzovat (kvantifikovat!) míru spolehlivosti – viz výrok uznávaných autorů v oblasti geotechnických úloh [3]: „Spolehlivostní navrhování je jediná dostupná metodologie, která může zajistit konzistentnost fyzikálních i pravděpodobnostních požadavků a je kompatibilní s teorií navrhování konstrukcí“. Dokládají to ostatně také statě v knihách [4] až [8] - a nevylučují to ani příslušné Eurokódy, i když přednost zatím dávají polopravděpodobnostní metodě dílčích součinitelů spolehlivosti – blíže viz odst. 2.4 v normě [9], kde se mj. uvádí, že při výpočtech se musí uvažovat s náhodnými změnami vlastností základové půdy, musí se vzít v úvahu nejistoty v geometrických údajích a že pro tyto hodnoty lze využít statistické metody (tj. pro stanovení charakteristických hodnot geotechnických parametrů). Bližší návod však projektant v tomto dokumentu nedostává.

V těchto souvislostech může být užitečná (v praxi doposud málo využívaná) citlivostní analýza [10]. Ta poskytuje odpověď na otázku, jakou pozornost máme věnovat „jakosti“ vstupních dat při navrhování stavebních konstrukcí, kdy v řadě situací bývá obtížné (často i nákladné a zdlouhavé) získat dostatečně věrohodné hodnoty všech vstupních údajů; někdy je nutné se spokojit jen s odborným odhadem, s názorem expertů či s inženýrskou zkušeností. Potom nás může zajímat, jakým způsobem ovlivňují jednotlivé vstupní parametry či jejich charakteristiky výsledek – jinými slovy, jaká je citlivost odezvy na změnu vstupního parametru, příp. které ze vstupních veličin jsou dominantní a které mají méně podstatný vliv. V případě náhodného vstupního parametru pak můžeme např. rozhodnout, zda parametr, který má velmi malý vliv, může být případně uvažován jako deterministický a nikoliv jako náhodný. To pak zjednodušuje přípravu vstupních dat a často i výpočty dalších podobných úloh – v tom spočívá hlavní význam citlivostní analýzy.

Při přípravě modelování interakce horní stavby, základové konstrukce a podloží se setkáváme s těmito přístupy k reflektování reality vstupních parametrů:

1. s parametrem se pracuje jako s deterministickou veličinou – v takových případech má parametr obvykle význam nějaké „typické“ hodnoty (střední hodnota, indikativní hodnota, příp. hodnota vymezující jistou třídu);
2. parametr je presentován jako statistická veličina; přitom jsou tyto varianty: (a) náhodná proměnná, popsaná pomocí statistických momentů, funkcí pravděpodobnosti, nebo histogramem; (b) náhodná funkce (to mj. vyžaduje určení autokorelační funkce a znalost korelační délky při popisu variability podloží, což je obtížná úloha. Přitom se ale může jednat o rozhodující parametr pro interakci konstrukce s podložím [11]); (c) variabilita mechanické či geometrické veličiny je popisována pomocí prostředků fuzzy logiky.

Přístup 1 tedy nerespektuje náhodný charakter veličin vstupujících do výpočtů, přístup 2a je relativně schůdný (viz [1]), 2b naproti tomu značně obtížnější a 2c je velmi málo používán a nemá vlastně zatím oporu v normách pro navrhování konstrukcí; jeho výhodou ale je, že vystačí převážně s inženýrským odhadem a intuicí. Základové půdy jsou silně heterogenní, ovlivněné historií zatěžování. Významný bývá faktor variability geologické struktury – parametry každé vrstvy je nutno stanovovat zvlášť. Tento povýtce prostorový charakter podloží působí obvykle při výpočetním modelování interakce značný problém (velký rozsah úlohy), proto je vhodné zavedení účelné redukce z 3D na 2D. Osvědčeným je povrchový model podloží (Kolář, Němec) spolu s programem SOILIN; mj. je o tom referováno v [1].

MODELOVÁNÍ INTERAKCE HORNÍ STAVBY, ZÁKLADOVÉ KONSTRUKCE A PODLOŽÍ
Jestliže vlastnosti podloží jsou prostorově (nebo jen plošně) proměnné a konstrukce není dokonale tuhá (což lze předpokládat jen ve výjimečných případech), zatížení konstrukce vyvodí deformace podloží a ty pak ovlivňují kontaktní napětí působící na konstrukci. Jde tedy o vzájemné propojení: zatížení a deformace nelze vyšetřovat odděleně, jedná se o iterativní proces.

Existuje několik úrovní modelování problému interakce:

• Úroveň 0 – o konstrukci se předpokládá, že je dokonale tuhá, kontaktní napětí (tlak) je rozloženo lineárně (sednutí základů leží v rovině). Interakce se tedy vlastně neuvažuje a také variabilita podloží není vůbec uvažována, pracuje se obvykle se středními, resp. s hraničními hodnotami parametrů.
• Úroveň 1 – přihlíží se k relativní tuhosti systému (poměru zobecněné tuhosti konstrukce k tuhosti podloží) a ověřuje se, zda výsledné deformace mohou být bezpečně přeneseny dostatečně poddajnou konstrukcí. Variabilita podloží opět není uvažována. K interakci se přímo nepřihlíží.
• Úroveň 2 – hodnotí se vliv sedání základů na konstrukci tak, že deformace podloží jsou považovány za vynucené (tj. zatěžující konstrukci) a posoudí se takto vyvolané změny v zatíženích, působících na základy. Pokud by se jednalo o významné rozdíly (např. > |10| %), mělo by se postupovat dle úrovně 3. Zjednodušeně lze říci, že úroveň 2 představuje jen první obrátku iterativního procesu, který je aplikován v úrovni 3.
• Úroveň 3 – postup s uvažováním plné interakce podloží, základů i horní stavby; variabilitu podloží lze zahrnout.

Takto jsou úrovně navrhování představeny např. v ČSN EN 1992-1-1 Navrhování betonových konstrukcí – část 1-1, příloha G. Nejistoty zmíněné výše nejsou tedy nijak přímo uvažovány, kromě posledního případu se jedná vlastně o postupy deterministické a úroveň spolehlivosti (tj. pravděpodobnost poruchy, resp. index spolehlivosti) nelze takto ověřovat. Jestliže ale model podloží a / nebo modely konstrukce (základové, nadzákladové) i model zatížení zavedeme jako pravděpodobnostní, tj. vstupující parametry vyjádříme pomocí jejich statistických charakteristik, dospíváme k plně pravděpodobnostnímu navrhování. A pokud takový pravděpodobnostní postup aplikujeme na úroveň 3, jde o nejpokročilejší přístup k navrhování konstrukcí s ohledem na interakci, který pomocí vhodné simulační techniky poskytne statistické informace o navržených parametrech i s tím spojené úrovni spolehlivosti. Je to podrobněji popsáno v [1] spolu s odkazy na vhodný software (SOILIN, FREET). Poznamenejme ještě, že v řadě případů nezanedbatelnou roli mohou hrát jednak nelineární chování materiálů (plasticita), příp. časově závislé jevy (dotvarování). To ovšem lze zahrnout do příslušných modelů. Poznamenejme ještě, že při pravděpodobnostním navrhování, kdy je obvykle analyzována také pravděpodobnost poruchy, může tato být využita pro kvantifikaci rizik [12] (např. rizika nedostatečné únosnosti aj.). V dalším odstavci jsou stručně uvedeny výsledky některých publikovaných studií, zahrnujících problematiku interakce vč. respektování variability podloží. Některé jsou ale věnovány jen případům spolupůsobení základových konstrukcí a podloží.

PŘÍKLADY ANALÝZ INTERAKCE
◆ V příspěvku [11] je studován vliv variability podloží jako náhodného pole (tj. přístup 2b) popisujícího ale pouze vlastnosti na kontaktní ploše, chápané jako soustava pružinek. Pole je charakterizované zejména korelační délkou L_c, která znázorňuje „rychlost“ změny hodnot deformačního modulu zeminy po délce nebo ploše základu. V [11] jsou takto studovány příklady: (1) rotace tuhého základu na heterogenní zemině; (2) dvou sousedících základových pásů, stejně zatížených, ale chovajících se nezávisle; (3) spojitého nosníku o dvou polích, kde se sledovala redistribuce zatížení mezi podporami (základovými pasy, podepírajícími nosník) a redistribuce ohybových momentů nosníku (zde představujícímu horní stavbu) v důsledku variability podloží; (4) vodorovného potrubí se spoji, rovnoměrně svisle zatíženého, uloženého v podélně variabilní zemině a posléze (5) příklad u skupiny pilot spojených deskou. Autoři použili pro řešení těchto stochastických úloh simulační metodu Monte Carlo, provedli řadu parametrických studií a dospěli mj. k závěru, že v reálných případech může hrát variabilita podloží významnou roli pro návrh/posouzení základů i horní stavby; přitom kromě zatížení, rozměrů, materiálu a typu konstrukce je rozhodujícím parametrem právě korelační délka L_c, resp. poměr L_c/L (kde L je základní geometrický údaj konstrukce). Dlužno podotknout, že stanovení L_c je ale dosti obtížné, v praxi málo schůdné.

◆ Práce [13] a [14] jsou věnovány pravděpodobnostním analýzám základové desky výškové budovy v Bratislavě. Zatížení se přenáší na základovou konstrukci prostřednictvím systému sloupů a dvou železobetonových jader (v [14] se navíc porovnávají tři alternativy jejich uspořádání), konstrukce horních 20 podlaží se pak ale pro účely posuzování interakce považuje za dokonale tuhou. V původní analýze [13] se jako náhodné veličiny modelují zatížení (stálé zatížení, užitné a vítr) a pro podloží tři součinitelé ložnosti (Pasternakův model – součinitel pro svislou tuhost a dva pro smykový roznos) – tj. byl aplikován přístup 2a; v některých případech byly uvažovány též součinitelé nejistoty modelu. Výpočty byly provedeny simulační technikou LHS a Response Surface Method. V doplňující studii [14] se analyzují ještě případy Winklerova podloží a modelu podloží 3D pomocí prostorových konečných prvků. Byla provedena citlivostní a statistická analýza sedání a namáhání základové desky; jako softwarové nástroje byly využity ANSYS, FREET, resp. AntHILL. Z výsledků těchto analýz uveďme alespoň:

• Deterministická analýza sedání ukázala až 63% rozdíl výsledků při srovnání tří různých modelů podloží a až 58 % u ohybových momentů desky;
• Při pravděpodobnostním výpočtu hodnota 95 % kvantilu extrémního ohybového momentu desky (který by zřejmě byl použit při dimenzování) byla pro tři různé modely podloží o 20, 21, resp. až o 57 % vyšší, než jeho střední hodnota.

◆ Výsledky publikované v práci [1] (železobetonová základová deska pod zdvojenou válcovou nádrží z oceli) byly ještě doplněny studií obdobně založené zdvojené válcové skořepiny železobetonové s monolitickým spojením nádrže se základovou deskou – podrobnosti zatím nepublikovány (analýzu provedli J. Buček a R. Rusina); zde uvádíme jen hlavní výsledky obou těchto variant konstrukce pro srovnání. Ocelová skořepina je k základové desce připojena kloubově a interakce horní stavby se základem a podložím je tedy v tomto případě nevýznamná (výsledky v dalším označeny stručně heslem „ocel“). V případě varianty s betonovou nádrží lze očekávat výraznější důsledky spolupůsobení – označeno „beton“ – viz tabulka 1. Tučně jsou vyznačeny ty hodnoty, které by měly být použity pro návrh/posudek. Pro variabilitu podloží byl používán přístup 2a – jako náhodné veličiny byly uvažovány: deformační modul a Poissonovo číslo zeminy, generované pro simulaci metodou Monte Carlo – varianta LHS, na základě informací získaných z pěti sond na staveništi vhodnou interpolací (se zřetelem na mocnosti vrstev, druh zeminy, geologicko-fyzikální vlastnosti). Použité softwarové prostředky: SOILIN, FREET a Scia Engineer. Variability ve vlastnostech konstrukce a zatížení nebyly uvažovány, aby bylo možno stanovit samotný vliv nejistot podloží.

◆ Rozsáhlá studie [15] se zabývá důsledky interakce u seismicky namáhaných mostů. Po prozkoumání velkého množství mostů ve střední a východní části USA byla vybrána typická mostní konstrukce, která pak posloužila pro srovnávací analýzy. Jednalo se o most o čtyřech polích s betonovou deskou nesenou šesti spojitými ocelovými nosníky, spočívajícími na třech vnitřních a dvou břehových opěrách. Příčné prahy podpor jsou vždy neseny třemi sloupy podporovanými skupinou pilot; krajní opěry jsou na pilotách, bez sloupů. Autoři studovali důsledky čtyř různých výpočetních modelů na křivky pravděpodobnosti porušení (fragility curves) pro čtyři modely konstrukce na podloží (od předpokladu dokonalého vetknutí pilot až po komplexní, 3D-MKP model celého systému s podložím se zohledněním plastických vlastností materiálů a chování ložisek i spár). Materiálové vlastnosti byly uvažovány jako náhodné veličiny (pevnosti betonu a oceli, zeminy), náhodnost ve vynuceném vodorovném pohybu podloží byla zahrnuta tak, že analýza byla provedena vždy pro 60 různých akcelerogramů. Bylo analyzováno množství mezních stavů: únosnost ložisek, prahů, pilotových základů a jejich příspěvky k mezním stavům celého systému, mezní stavy použitelnosti, poškození a kolapsu; přitom byly v souvislosti s jednotlivými modely použity různé softwarové prostředky zahraniční provenience, pro pravděpodobnostní analýzy pak simulace metodou Monte Carlo.

Z rozsáhlých výsledků uvádíme v tabulce 2 alespoň pravděpodobnosti dosažení mezních stavů mostu pro tři scénáře seismického hazardu 0,19, 0,38 a 0,87 g, které odpovídají dle United States Geological Survey pravděpodobnostem překročení v průběhu 50 let (analýza nejpodrobnějším modelem, tj. 3D – MKP). Také srovnání výsledků různých modelů ukázalo velké rozdíly pravděpodobnosti porušení – např. pro seismické namáhání 0,19 g byl rozdíl u mezního stavu použitelnosti až 3,8 násobný.

ZÁVĚR
Výsledky všech těchto studií a analýz dokumentují význam variability podloží, interakce konstrukce s podložím a pravděpodobnostních přístupů; tato hlediska mohou mít mj. výrazný vliv na bezpečnost návrhu základů i horní stavby a tedy také na ekonomické souvislosti. Přitom je ale volba vhodného výpočetního modelu mimořádně důležitá, stejně jako výstižnost vstupních údajů. Tento výsledek byl získán v rámci činnosti výzkumného záměru MSM0021630519 a projektu GAČR č. 103/08/0752.

LITERATURA:
[1] Buček, J, Němec, I, Rusina, R, Miča, L, Novák, D, Teplý, B, 2009 Řešení interakce plošných konstrukcí s podložím, Konstrukce, Konstrukce Media, Vol. 8, 5/2009, str. 63–66.
[2] Ang, A.H-S., Tang., W.H. Probability Concepts in Engineering, Wiley, 2nd edition, 2007.
[3] Kulhawy, F.H., Phoon, K.K.: Observations on geotechnical reliability-based design developed in North America. Fndn. Design Codes & Soil Investigation in View of Intl. Harmonization & Performance Based Design, Ed. Y Honjo et al., Balkema, Lisse-Netherlands, Apr 2002, 31–48.
[4] Baecher, G.B. and Christian, J.T.: Reliability and Statistics in Geotechnical Engineering, Wiley, 2003.
[5] Fenton, G,A., Griffiths, D.V.: Risk Assessment in Geotechnical Engineering, Wiley, 2008.
[6] Phoon, K.K. Reliability-Based Design in Geotechnical Engineering: Computations and Applications, Wiley, 2008.
[7] Risk and variability in geotechnical engineering. Edit. by M.A. Hicks, ICE, Thomas Telford Ltd. 2007.
[8] Rozsypal, A.: Inženýrské stavby – řízení rizik. Jaga, Bratislava, 2008.
[9] ČSN EN 1997-1 Navrhování geotechnických konstrukcí. 2006. [10] Teplý, B.: Analýza citlivosti. Mezinárodná vedecká konferencia „Aktuálne problémy mechaniky“, Stavebná fakulta STU v Bratislave, 2008, 6 str. (CD ROM).
[11] Breysse, D., Niadou, H., Elachachi, S. and Houy, L., 2004: Generic approach to soil-structure interaction considering the effects of soil heterogeneity. Géotechnique 54, No. 2, 143–150
[12] Teplý B. Je analýza rizik ve stavebnictví užitečná? Stavebnictví 02/2010, 22–25.
[13] Králik J., Králik J. Probabilistic and sensitivity analysis of soil-structure interaction of high-rise buildings. Slovak Journal of Civil Engineering 2006/3, 23–32.
[14] Králik J.: Probabilistic and sensitivity analysis of the model uncertainties of the foundation plate considering SSI effects, Proc. 5th International Conference Concrete and Concrete
Structures, Žilina, Slovakia, 2009, 229–236.
[15] Kwon O.S., Elnashai A.S. Fragility analysis of a highway over-crossing bridge with consideration of soil-structure interaction. Structure and Infrastructure Engineering, Vol. 6, No. 1+2, 2010, 159–178.

Possibilities of applying the probabilistic methods for modelling the interactions of constructions with subgrade
The present paper deals with upper structure – foundation structure – subsoil interaction considering eleatoric and epistemic variability concentrating on the variability of subsoil. Probability as well as sensitivity analyses are discussed and different levels of approaches to interaction problem are described. Several examples of interaction tasks for different structural systems are presented.                                        

Autor

• Prof. Ing. Teplý Břetislav CSc.